Question

【題目】已知數列滿足：（常數），（，）.數列滿足：（）.

（1）求，的值；

（2）求數列的通項公式；

（3）是否存在k，使得數列的每一項均為整數？若存在，求出k的所有可能值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）

【解析】

（1）經過計算可知：，由數列滿足：，從而可求，；

（2）由條件可知：，得，兩式相減整理得，從而可求數列的通項公式；

（3）假設存在正數，使得數列的每一項均為整數則由（2）可知，由，，可求得，2，證明，2時，滿足題意，說明為1，2時，數列是整數列即可.

（1）由已知得，，

所以，.

（2）由條件可知：（），①

所以（）.②

①②得.

即：.

因此：，

故（），又因為，，

所以.

（3）假設存在k，使得數列的每一項均為整數，則k為正整數.

由（2）知（，2，3…）③

由，，所以或2，

檢驗：當時，為整數，

利用，，結合③，各項均為整數；

當時③變成（，2，3…）

消去，得：（）

由，，所以偶數項均為整數，

而，所以為偶數，故，故數列是整數列.

綜上所述，k的取值集合是.