Question

已知：一動圓過B（1，0）且與圓A：x²+y²+2x+4λ-3=0（0＜λ＜1）相切．
（1）證明動圓圓心P的軌跡是雙曲線，并求其方程；
（2）過點B作直線l交雙曲線右支于M、N兩點，是否存在λ的值，使得△AMN成為以∠ANM為直角的等腰三角形，若存在則求出λ的值，若不存在則說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當動圓與圓A內切時，|PA|-|PB|=2；當動圓與圓A外切時，|PB|-|PA|=2，利用雙曲線的定義可得結論；
（2）若過點B作直線l垂直于x軸，則△AMN不可能成為以∠ANM為直角的等腰三角形；若過點B作直線l不垂直于x軸，則設l的方程與-=1聯立，確定N的坐標，可得直線l的斜率，利用直線l與雙曲線右支有兩個交點，可得λ的取值范圍，利用|AN|=|MN|，即可求得結論．
解答：（1）證明：圓A：x²+y²+2x+4λ-3=0可化為（x+1）²+y²=4（1-λ），圓心為（-1，0），半徑為r=2
當動圓與圓A內切時，|PA|-|PB|=2；當動圓與圓A外切時，|PB|-|PA|=2；
∴||PB|-|PA||=2，
∵0＜λ＜1，∴2＜2
∴||PB|-|PA||＜|AB|
∴動圓圓心P的軌跡是雙曲線，其方程為-=1；
（2）解：若過點B作直線l垂直于x軸，則△AMN不可能成為以∠ANM為直角的等腰三角形；
若過點B作直線l不垂直于x軸，則設l：y=k（x-1），l與雙曲線右支交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點
∵∠ANM為直角，∴N在以AB為直徑的圓x²+y²=1上
與-=1聯立，解得x=±，y=±λ
∵N在右支上，∴N（，±λ）
不妨設N在x軸下方，∴N（，-λ）
此時，直線l的斜率為k=①
|AN|==
y=k（x-1）代入-=1，可得[λ-（1-λ）k²]x²+2（1-λ）k²x-（1-λ）（λ+k²）=0②
∵直線l與雙曲線右支有兩個交點，∴，∴λ-（1-λ）k²＜0③
于是x₁+x₂=，x₁x₂=
將①代入③，可得λ的取值范圍為（0，）
∴|MN|==-2
∵|AN|=|MN|，∴=-2
∴17λ²-24λ+8=0，∴λ=
∵λ∈（0，）
∴存在λ=，使得△AMN成為以∠ANM為直角的等腰三角形．
點評：本題考查軌跡方程，考查雙曲線的定義，考查直線與曲線的位置關系，考查存在性問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．