Question

已知拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A（4，0）且與拋物線(xiàn)交于P，Q兩點(diǎn)．并設(shè)以弦PQ為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）若

FP

+

FQ

=

FR

，試求動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出直線(xiàn)l的方程代入拋物線(xiàn)的方程消去x，設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，利用

OP

•

OQ

=0，求得0=x₁x₂+y₁y₂，求得p，則焦點(diǎn)坐標(biāo)可得．
（Ⅱ）設(shè)出R，利用

FP

+

FQ

=

FR

求得x₁+x₂=x+1，y₁+y₂=y，進(jìn)而根據(jù)y₁²=4x₁，y₂²=4x₂和FR中點(diǎn)坐標(biāo)，利用k_PQ=k_MA求得x和y的關(guān)系式，當(dāng)x₁=x₂時(shí)，R的坐標(biāo)為（7，0），也滿(mǎn)足y²=4x-28，進(jìn)而推斷出y²=4x-28即為動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)直線(xiàn)l方程為x=ky+4，代入y²=2px得y²-2kpy-8p=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有y₁+y₂=2kp，y₁y₂=-8p
而

OP

•

OQ

=0，
故0=x₁x₂+y₁y₂=（ky₁+4）（ky₂+4）-8p=k²y₁y₂+4k（y₁+y₂）+16-8p
即0=-8k² p+8k²p+16-8p，得p=2，焦點(diǎn)F（1，0）．
（Ⅱ）設(shè)R（x，y），由

FP

+

FQ

=

FR

得（x₁-1，y₁）+（x₂-1，y₃）=（x-1，y）
所以x₁+x₂=x+1，y₁+y₂=y
而y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
可得y（y₁-y₂）=（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）
又FR的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(

x+1

2

，

y

2

)，
當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，利用k_PQ=k_MA有

4

y

=

y1-y2

x1-x2

=

y 2

x+1 2 -4

整理得，y²=4x-28．
當(dāng)x₁=x₂時(shí)，R的坐標(biāo)為（7，0），也滿(mǎn)足y²=4x-28．
所以y²=4x-28即為動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．