Question

為提高學生學習數學的興趣，某地區舉辦了小學生“數獨比賽”．比賽成績共有90分，70分，60分，40分，30分五種，按本次比賽成績共分五個等級．從參加比賽的學生中隨機抽取了30名學生，并把他們的比賽成績按這五個等級進行了統計，得到如下數據表：

成績等級	A	B	C	D	E
成績（分）	90	70	60	40	30
人數（名）	4	6	10	7	3

（Ⅰ）根據上面的統計數據，試估計從本地區參加“數獨比賽”的小學生中任意抽取一人，其成績等級為“A 或B”的概率；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的結論，若從該地區參加“數獨比賽”的小學生（參賽人數很多）中任選3人，記X表示抽到成績等級為“A或B”的學生人數，求X的分布列及其數學期望EX；
（Ⅲ）從這30名學生中，隨機選取2人，求“這兩個人的成績之差大于20分”的概率．

Answer 1

解：（I）根據統計數據可知，從本地區參加“數獨比賽”的30名小學生中任意抽取一人，其成績等級為“A 或B”的概率為=，
即從本地區參加“數獨比賽”的小學生中任意抽取一人，其成績等級為“A 或B”的概率為．
（II）由題意知隨機變量X可取0，1，2，3，
∴P（X=0）=C（）⁰（）³=；P（X=1）=C（）¹（）²=；
P（X=2）=C（）²（）=；
P（X=3）=C（）³（）⁰=；
所以X的分布列為（必須寫出分布列，否則扣1分）

X	0	1	2	3
P

…（11分）
故Eξ=0×+1×+2×+3×=1，所求期望值為1．
（III）設事件M：從這30名學生中，隨機選取2人，這兩個人的成績之差大于20分．
設從這30名學生中，隨機選取2人，記兩個人的成績分別為m，n．
則基本事件的總數為，
不妨設m＞n，
當m=90時，n=60或40或30，基本事件的數為C（C+C+C）；
當m=70時，n=40或30，基本事件的數為C（C+C）；
當m=60時，n=30，基本事件的數為CC；
∴P（M）==．
∴從這30名學生中，隨機選取2人，“這兩個人的成績之差大于20分”的概率為．
分析：（I）本題是一個統計問題，根據統計數據，從而得出從本地區參加“數獨比賽”的小學生中任意抽取一人，其成績等級為“A 或B”的概率得到結果．
（II）由題意知由題意知隨機變量X可取0，1，2，3，結合變量對應的事件和等可能事件的概率公式寫出變量的概率，寫出分布列和做出期望值．
（III）設事件M：從這30名學生中，隨機選取2人，這兩個人的成績之差大于20分．設從這30名學生中，隨機選取2人，記兩個人的成績分別為m，n．得到基本事件的總數，不妨設m＞n，再對m，n的取值情形進行分類討論算出各自的基本事件數，最后根據概率公式計算即可求得事件M的概率．
點評：本題考查等可能事件的概率，考查相互獨立事件同時發生的概率，考查離散型隨機變量的分布列和期望，本題是一個典型的綜合題目．