Question

(22)已知a＞0,數(shù)列{a_n}滿足a₁=a,a_n+1=a+,n=1,2,…

(Ⅰ)已知數(shù)列{a_n}極限存在且大于零,求A=a_n(將A用a表示);

(Ⅱ)設(shè)b_n=a_n－A,n=1,2,…,證明:b_n+1=－;

(Ⅲ)若|b_n|≤,對(duì)n=1,2,…都成立,求a的取值范圍.

Answer 1

(22)本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限的概念和數(shù)學(xué)歸納法,考查靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.

解：

(Ⅰ)由a_n存在,

且A=a_n(A＞0),對(duì)a_n+1=a+兩邊取極限得.

A=a+.解得A=.又A＞0,∴A=.

    (Ⅱ)由a_n=b_n+A,a_n+1=a+得b_n+1+A=a+,

 

∴b_n+1=a－A+=－+=－.

即b_n+1=－對(duì)n=1,2,…都成立.

 

(Ⅲ)令|b₁|≤,得|a－(a+)|≤.

∴|(－a)|≤.∴－a≤1,解得a≥.

現(xiàn)證明當(dāng)a≥時(shí),|b_n|≤,對(duì)n=1,2,…都成立.

(ⅰ)當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立(已驗(yàn)證).

(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)結(jié)論成立,即|b_k|≤,那么

|b_k+1|=≤×.

故只需證明≤,

即證A|b_k+A|≥2對(duì)a≥成立.

由于A==，

而當(dāng)a≥時(shí)，－a≤1,∴A≥2.

∴|b_k+A|≥A－|b_k|≥2－≥1,即A|b_k+A|≥2.

故當(dāng)a≥時(shí)，|b_k+1|≤×=.

即n=k+1時(shí)結(jié)論成立.

根據(jù)(ⅰ)和(ⅱ)，可知結(jié)論對(duì)一切正整數(shù)都成立.

故|b_n|≤對(duì)n=1,2,…都成立的a的取值范圍為［，+∞).