Question

如圖，以A₁、A₂為焦 點的雙曲線E與半徑為c的圓O相交于C、D、C₁、D₁，連接CC₁與OB交于點H，且有是圓O與坐標軸的交點，c為雙曲線的半焦距.

（1）當c=1時，求雙曲線E的方程；

（2）試證：對任意正實數c，雙曲線E的離心率為常數；

（3）連接A₁C，與雙曲線E交于點F，是否存在實數，使恒成立？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：

   

（1）由c=1知B（0，1），

   即，點C在單位圓上，

設雙曲線E的方程為

由點C在雙曲線E上，半焦距c=1有：

所以雙曲線E的方程為：

（2）證明：

得：

設雙曲線E的方程為

① ②

   

①代入②，化簡整理得

解得

又

，即雙曲線E的離心率是與c無關的常數.

（3）假設存在實數，使恒成立，

有

點點C、F都在雙曲線E上，故有

④

③

由③得  ⑤

⑤代入④得化簡整理得

即（2）小題的結論得：

故存在實數，使恒成立