Question

已知數列{a_n}的前n項和記為S_n，且a₁=2，a_n+1=S_n+2．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若cn=

n

an

，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用數列遞推式，再寫一式，兩式相減，可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用錯位相減法，可求數列{c_n}的前n項和．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=S_n+2，∴n≥2時，a_n=S_n-1+2
兩式相減可得a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n，∴a_n+1=2a_n（n≥2）
∵a₁=2，∴a₂=S₁+2=4，∴n≥2時，a_n=4•2^n-2=2ⁿ，
∵a₁=2，也符合上式，∴數列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）cn=

n

an

=n•(

1

2

)n，
∴T_n=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n①
∴

1

2

T_n=1×(

1

2

)2+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1②
①-②：

1

2

T_n=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=1-(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1
∴T_n=2-(

1

2

)n•(n+2)．

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項與求和，正確運用求和公式是關鍵．