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已知方程x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0表示圓C.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)在已知方程表示的所有圓中,能否找到圓C1,使得圓C1經(jīng)過點(diǎn)P(2,1),Q(4,-1)兩點(diǎn),且與圓x2+y2-4x-5=0相切?說出理由.
【答案】分析:(I)將圓C方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式得(x-2)2+(y+m)2=-m2+2m+3,因此若方程表示圓則-m2+2m+3>0,解之得即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(II)將點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)代入圓C的方程解出m=1,從而得到圓心C1(2,-1)且徑R1=2.算出圓x2+y2-4x-5=0的圓心為C2(2,0)且半徑R2=3,算得|C1C2|=1=R2-R1,故圓C1與圓C2相內(nèi)切,因此可得存在滿足條件的圓C1
解答:解:(I)將方程x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0化成標(biāo)準(zhǔn)形式,得
(x-2)2+(y+m)2=-m2+2m+3
∵方程x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0表示圓C.
∴-m2+2m+3>0,解之得-1<m<3
(II)若點(diǎn)P、Q在圓C上,則
,解之得m=1
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+1)2=4
圓心為C1(2,-1),半徑R1=2
又∵圓C2:x2+y2-4x-5=0的圓心為C2(2,0),半徑R2=3,圓心距|CC2|=1
∴圓心距|C1C2|=1=R2-R1,故圓C1與圓C2相內(nèi)切
因此存在點(diǎn)C1(2,-1),使圓C1與圓x2+y2-4x-5=0相切.
點(diǎn)評:本題給出含有參數(shù)m的圓方程,求參數(shù)m的取值范圍并探索與已知圓相切的圓是否存在.著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓與圓的位置關(guān)系等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(3)在(2)得條件下,求以MN為直徑的圓的方程.

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π
4
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已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一個圓.
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(3)求圓心的軌跡方程.

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已知方程x2+y2-2mx-4y+5m=0的曲線是圓C
(1)求m的取值范圍;
(2)當(dāng)m=-2時,求圓C截直線l:2x-y+1=0所得弦長;
(3)若圓C與直線2x-y+1=0相交于M,N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O,求m的值?

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