Question

已知函數f(x)=

1

2

mx2-2x+1+ln(x+1)
（1）當m=-

3

2

時，求函數f（x）的極值點；
（2）當m≤1時，曲線C：y=f（x）在點P（0，1）處的切線l與C有且只有一個公共點，求實數m的范圍．

Answer 1

分析：（1）求導數，確定函數的單調性，即可求得函數f（x）的極值點；
（2）先求切線方程為y=-x+1，再由切線L與C有且只有一個公共點，轉化為

1

2

mx²-x+ln（x+1）=0有且只有一個實數解，從而可求實數m的范圍．

解答：解：（1）當m=-

3

2

時，f(x)=-

3

4

x2-2x+1+ln(x+1)（x＞-1）
∴f′(x)=-

3x

2

-2+

1

x+1

=-

(x+2)(3x+1)

2(x+1)

∴x∈（-1，-

1

3

）時，f′（x）＞0；x∈（-

1

3

，+∞）時，f′（x）＜0，
∴函數f（x）的極值點是x=-

1

3

；
（2）f′（x）=mx-2+

1

x+1

，∴f′（0）=-1，∴切線L：y=-x+1
∵切線L與C有且只有一個公共點，∴

1

2

mx²-x+ln（x+1）=0有且只有一個實數解，顯然x=0時成立．
令g（x）=

1

2

mx²-x+ln（x+1），則g′（x）=

mx[x-( 1 m -1)]

x+1

①當m=1時，g′（x）≥0，函數在（-1，+∞）上單調增，x=0是方程唯一實數解；
②當m＜1時，由g′（x）=0得x₁=0，x₂=

1

m

-1∈（-∞，-1）∪（0，+∞），從而有x=x₂是極值點，因此g（x）=0還有一個不是0的解，矛盾
綜上知，m=1．

點評：本題主要考查導數的運用，考查函數的極值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．