Question

設函數y＝f(x)(x∈R且x≠0)對任意非零實數x₁，x₂，恒有f(x₁x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)．

(1)求f(1)的值；

(2)求證y＝f(x)是偶函數；

(3)已知y＝f(x)為區間(0，＋∞)上的增函數，求適合f(log₂x)＞0的x的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)因為f(x₁x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)，所以當x₁＝x₂＝1時有f(1)＝f(1)＋f(1)，即得f(1)＝0．

　　(2)由(1)可知f(1)＝0，而f(1)＝f((－1)·(－1))＝2f(－1)＝0，可得f(－1)＝0．

　　因為x∈R且x≠0，定義域關于原點對稱．而對定義域內的任意x，都有

　　f(－x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)，即f(－x)＝f(x)．所以函數y＝f(x)是偶函數．

　　(3)由題意可得，f(log₂x)＞0即f(log₂x)＞f(1)．因為函數為偶函數且在區間(0，＋∞)上是增函數，所以有|log₂x|＞1，解得x＞2或0＜x＜，即x∈(0，)∪(2，＋∞)．

　　點評：在證明此函數為偶函數時，要注意：函數的定義域要關于原點對稱；對于定義域內的任意一個自變量x，都有f(－x)＝f(x)．這就要求在解題時利用(1)中所得的f(1)＝0求出f(－1)＝0，進而得出f(－x)＝f(x)，偶函數得到證明．對于(3)則要求學生根據偶函數圖象的特征作出判斷，即偶函數在y軸兩邊的單調性相反．函數值的大小就依靠自變量離對稱軸的遠近來確定，從而減少討論的麻煩．

提示：

本題的切入點是f(x₁x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)，所以解題時要充分利用這個等式．