Question

（1）函數f（x）為定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=lg（x+1）+x²，當x為實數時求f（x） 的表達式；
（2）若函數f（x）為偶函數，g（x）為奇函數，且對任意實數x都有，試比較f（1），g（0），g（-2）的大小．

Answer 1

解：（1）∵函數f（x）為定義在R上的奇函數，
∴當x=0時，f（0）=0；
設x＜0，則-x＞0，且滿足表達式f（x）=lg（x+1）+x²，
∴f（-x）=lg（-x+1）+（-x）²=lg（-x+1）+x²，
又∵函數f（x）為定義在R上的奇函數，
∴f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=lg（-x+1）+x²，
即f（x）=-lg（-x+1）-x²，
故當x為實數時f（x）的表達式為f（x）=．
（2）將-x代入①，得f（-x）-g（-x）=（）^-x=2^x，
∵f（x）為偶函數，g（x）為奇函數，
∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），
∴f（x）+g（x）=2^x，②
①②聯立，解得f（x）=，g（x）=，
∴f（1）=，g（0）=0，g（-2）=，
故f（1）＞g（0）＞g（-2）．
分析：（1）由已知條件，要求x為實數時f（x） 的表達式，只須求出x≤0時的表達式，由奇函數的性質易得當x=0時，f（0）=0，f（-x）=-f（x），逐步轉化即可求解．
（2）根據奇偶性的定義，將-x代入已知解析式，整理可得f（x）與g（x）的又一關系式，兩者聯立，解方程組，即可求得f（x）與g（x）的解析式，故f（1），g（0），g（-2）的值可求，進而比較其大小．
點評：（1）利用函數的奇偶性求函數某一部分的表達式的步驟：（1）在哪個區間求解析式，x就設在那個區間里；（2）利用已知區間的解析式進行代入；（3）利用f（x）的奇偶性把f（-x）寫成-f（x）或f（x），從而解出f（x）．
（2）解決本題的關鍵是靈活應用函數奇偶性的定義，將-x代入原式進行化簡，運用了轉化思想和方程思想，考查了學生運算能力和邏輯推理能力．