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如圖,在四棱錐P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點A在PD上的射影為點G,點E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.

(1)求證:AG∥平面PEC;

(2)求AE的長;

(3)求二面角E—PC—A的正弦值.(本題滿分14分)

 

【答案】

(1)見解析。(2)  (3)

【解析】       

試題分析:解(1)證明:∵CD⊥AD,CD⊥PA

∴CD⊥平面PAD   ∴CD⊥AG,

又PD⊥AG

∴AG⊥平面PCD  ……………………2分

作EF⊥PC于F,因面PEC⊥面PCD

∴EF⊥平面PCD,

∴EF∥AG

又AG面PEC,EF面PEC,

∴AG∥平面PEC  ……………………4分

(2)由(Ⅰ)知A、E、F、G四點共面,又AE∥CD,

∴AE∥平面PCD。

∴AE∥GF。

∴四邊形AEFG為平行四邊形,∴AE=GF。    ……………………………5分

∵PA=3,AB=4,∴PD=5,AG=

又PA2=PG•PD,∴PG     ………………………………………………7分

,∴,∴  ………………………9分

(3)過E作EO⊥AC于點O,易知EO⊥平面PAC,

又EF⊥PC,∴OF⊥PC∴∠EFO即為二面角E—PC—A的平面角  …………11分

又EF=AG

              …………………14分

點評:二面角的求法是立體幾何中的一個難點。我們解決此類問題常用的方法有兩種:①綜合法,綜合法的一般步驟是:一作二說三求。②向量法,運用向量法求二面角應注意的是計算。很多同學都會應用向量法求二面角,但結果往往求不對,出現的問題就是計算錯誤。

 

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大小.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點A在PD上的射影為點G,點E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長;
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積V.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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同步練習冊答案
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