Question

ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，＜C＜，且．
（1）判斷△ABC的形狀
（2）若，求的取值范圍、

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識點是兩角和與差的正弦公式，倍角公式，解三角形，平面向量的數量積運算，向量的模等知識點．
（1）要判斷△ABC的形狀，我們可由，結論正弦定理邊角互化的原則，將式子中邊全部化為對應角的正弦值，然后根據兩角和與差的正弦公式，倍角公式，得到sinB=sin2C，又由因為，我們易判斷三角形的形狀．
（2）由，兩邊平方后，根據（1）的結論，我們可求出B的表達式及取值范圍，進而求出的取值范圍．
解答：解：（1）
⇒sinBsinA-sinBsin2C=sinAsin2C-sinBsin2C
⇒sinB=sin2C，
因為，
所以B=π-2C⇒B+C=π-C⇒π-A=π-C⇒A=C
即△ABC為等腰三角形．
（2）因為
所以，
而
所以
點評：要根據某個恒成立的三角函數關系式，判斷三角形的形狀，一般的思路是分析角與角的關系，如果有三個角相等，則為等邊三角形；如果只能得到兩個角相等，則為普通的等腰三角形；如果兩個角和為90°，或一個角為90°，則為直角三角形．