Question

已知P：對任意恒成立； Q：函數f（x）=x³+mx²+mx+6x+1存在極大值和極小值．求使“P且¬Q”為真命題的m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：判斷出p是真命題q為假命題，若p真，求出在a∈[1，2]上的最大值，令|m-5|小于等于最大值解不等式求出m的范圍，若q真，令f（x）的導函數的判別式大于0，求出m的范圍，求出q假m的范圍；求出p真q假m的范圍．
解答：解：“P且¬Q”為真命題．則P為真命題，Q為假命題．
P：對任意恒成立．
應有|m-5|≤3，
解得2≤m≤8．
Q：函數f（x）=x³+mx²+mx+6x+1存在極大值和極小值，
f'（x）=3x²+2mx+m+6
若存在極大值和極小值有△=4m²-12（m+6）＞0．
得m＞6或m＜-3．
¬Q為真命題，則-3≤m≤6．
則“P且¬Q”為真命題的m的取值范圍是[2，6]
點評：解決不等式恒成立問題常采用的方法是分離出參數，構造新函數，求函數的最值；求復合命題真假的問題常轉化為構成復合命題的簡單命題的真假問題來處理．