Question

公差不為零的等差數列{a_n}中，已知其前n項和為S_n，若S₈=S₅+45，且a₄，a₇，a₁₂成等比數列
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項a_n
（Ⅱ）當b_n=時，求數列{b_n}的前n和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由等差數列的性質和S₈=S₅+45得a₇=15，再由通項公式代入另一個條件列出方程組，求出首項和公差，代入通項公式化簡即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差數列的前n項和公式求出S_n，再代入b_n=化簡后再裂項，代入數列{b_n}的前n和T_n化簡．
解答：解：（Ⅰ）由S₈=S₅+45得，S₈-S₅=45，
∴a₆+a₇+a₈=45，即3a₇=45，得a₇=15，
又∵，設公差為d≠0，
∴
解得，
∴a_n=2n+1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
∴，

∴．
點評：本題考查了等差和等比數列的性質，通項公式和前n項和公式的應用，以及裂項相消法求數列的前n項和．