Question

設f（x）=x（x-1）（x+1），請問下列哪些選項是正確的？
（1）（2）f（x）=2有整數解    （3）f（x）=x²+1有實數解   （4）f（x）=x有不等于零的有理數解
（5）若f（a）=2，則f（-a）=2．

Answer 1

【答案】分析：（1）把代入f（x）可得結論錯誤；（2）方程f（x）=2有整數解，即x³-x-2=0有整數解，構造函數g（x）=x³-x-2有整零點，利用反證法即可得到結論；（3）方程 f（x）=x²+1有實數解，即x³-x²-x-1=0為一整系數三次方程式，此方程式必有三個根；因為虛根必成共軛虛根出現，故此方程式必有一實根；（4）f（x）=x有不等于零的有理數解，即x（x-1）（x+1）=x，解此方程即可求得結論；（5）f（x）=x（x-1）（x+1）是奇函數，因此f（a）=2，則f（-a）=-2．
解答：解：（1）
（2）f（x）=2⇒x（x-1）（x+1）=2⇒x³-x-2=0
令g（x）=x³-x-2
若為g（x）=0的有理根，則a|1，b|2，故可為±1，±2．
但g（1）≠0，g（-1）≠0，g（2）≠0，g（-2）≠0，故g（x）=x³-x-2=0沒有整數解，即f（x）=x³-x=2沒有整數解．
（3）f（x）=x²+1⇒x³-x=x²+1⇒x³-x²-x-1=0為一整系數三
次方程式，此方程式必有三個根；因為虛根必成共軛虛根出
現，故此方程式必有一實根．
（4），
故f（x）=x沒有不等于0的有理根．
（5）f（a）=2⇒a（a-1）（a+1）=2，則f（-a）=-a（-a-1）（-a+1）=-a（a+1）（a-1）=-2
故正確的是（3）
點評：此題是中檔題．考查函數的零點與方程根之間的關系，以及函數的奇偶性，是道綜合題，同時考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力和計算能力．