Question

12．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面邊長都相等，A₁在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與CC₁所成的角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{4}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 首先找到異面直線AB與CC₁所成的角（如∠A₁AB）；而欲求其余弦值可考慮余弦定理，則只要表示出A₁B的長度即可；不妨設三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面邊長為1，利用勾股定理即可求之．

解答 解：設BC的中點為D，連接A₁D、AD、A₁B，易知θ=∠A₁AB即為異面直線AB與CC₁所成的角；
并設三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面邊長為1，
則|AD|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，|A₁D|=$\frac{1}{2}$，|A₁B|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由余弦定理，得cosθ=$\frac{1+1-\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{3}{4}$．
故選B．

點評 本題主要考查異面直線的夾角與余弦定理．