【題目】已知橢圓
的長軸長是短軸長的
倍，且過點
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若
的頂點
、
在橢圓上， 
所在的直線斜率為
， 
所在的直線斜率為
，若
，求
的最大值．
【答案】（1）
；（2）2.
【解析】試題分析：(1)根據橢圓長軸與短軸的關系列出一個方程，再根據橢圓過已知點列出一個方程，解方程組求出a,b,寫出橢圓的標準方程;(2)由于OA和OB的斜率乘積為定值，因此OA的斜率為
，則OB的斜率可表示為
，分別把射線OA、OB的方程與橢圓的方程聯立，求出A、B兩點的橫坐標，得出兩點的橫坐標的積，根據OA、OB方程得出A、B兩點的縱坐標的積，從表示出數量積
,再利用基本不等式求出最值.
試題解析：
（1）由題意得
解得
∴橢圓的標準方程為
．
（2）設
， 
，不妨設
， 
．
由
，∴
（
），
直線
、
的方程分別為
， 
，
聯立
解得
， 
．
∵
，
當且僅當
時，等號成立．
所以
的最大值為2．
考前必練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】【2018湖北七市（州）教研協作體3月高三聯考】已知橢圓
： 
的左頂點為
，上頂點為
，直線
與直線
垂直，垂足為
點，且點
是線段
的中點．
（I）求橢圓
的方程；
（II）如圖，若直線
： 
與橢圓
交于
， 
兩點，點
在橢圓
上，且四邊形
為平行四邊形，求證：四邊形
的面積
為定值．
【答案】（I）
；（II）
【解析】試題分析：（1）根據題意可得
， 
故斜率為
，由直線
與直線
垂直，可得
，因為點
是線段
的中點，∴點
的坐標是
，
代入直線得
，連立方程即可得
， 
；（2）∵四邊形
為平行四邊形，∴
，設
， 
， 
，∴
，得
，將
點坐標代入橢圓
方程得
，
點
到直線
的距離為
，利用弦長公式得EF，則平行四邊形
的面積為
.
解析：（1）由題意知，橢圓
的左頂點
，上頂點
，直線
的斜率
，
得
，
因為點
是線段
的中點，∴點
的坐標是
，
由點
在直線
上，∴
，且
，
解得
， 
，
∴橢圓
的方程為
.
（2）設
， 
， 
，
將
代入
消去
并整理得
，
則
， 
，
，
∵四邊形
為平行四邊形，∴
，
得
，將
點坐標代入橢圓
方程得
，
點
到直線
的距離為
， 
，
∴平行四邊形
的面積為
.
故平行四邊形
的面積
為定值
.
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知函數
， 
.
（1）當
時，討論函數
的單調性；
（2）當
時，求證：函數
有兩個不相等的零點
， 
，且
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4－4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線
的極坐標方程為
，過點
的直線
的參數方程為
（
為參數），直線與曲線相交于
兩點.
(1)寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;
(2)若
,求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
與直線
相切.
（1）若直線
與圓
交于
兩點，求
；
（2）設圓
與
軸的負半軸的交點為
，過點
作兩條斜率分別為
的直線交圓
于
兩點，且
，試證明直線
恒過一定點，并求出該定點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校運動會的立定跳遠和30秒跳繩兩個單項比賽分成預賽和決賽兩個階段.下表為10名學生的預賽成績，其中有三個數據模糊.
學生序號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
立定跳遠（單位：米） | 1.96 | 1.92 | 1.82 | 1.80 | 1.78 | 1.76 | 1.74 | 1.72 | 1.68 | 1.60 |
30秒跳繩（單位：次） | 63 | a | 75 | 60 | 63 | 72 | 70 | a1 | b | 65 |
在這10名學生中，進入立定跳遠決賽的有8人，同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則
（A）2號學生進入30秒跳繩決賽
（B）5號學生進入30秒跳繩決賽
（C）8號學生進入30秒跳繩決賽
（D）9號學生進入30秒跳繩決賽
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設數列{an}的前n項和為Sn.已知2Sn＝3n＋3.
(1)求{an}的通項公式；
(2)若數列{bn}滿足anbn＝log3an，求{bn}的前n項和Tn.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法：
①將一組數據中的每個數據都加上或減去同一個常數后，方差恒不變；
②設有一個回歸方程
＝3－5x，變量x增加一個單位時，y平均增加5個單位；
③線性回歸方程
＝
x＋
必過(
，
)；
④在一個2×2列聯表中，由計算得K2＝13.079，則有99%以上的把握認為這兩個變量間有關系．
其中錯誤的個數是( )
本題可以參考獨立性檢驗臨界值表：
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
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