Question

已知定點(diǎn)Q（0，5）和圓C：（x+2）²+（y-6）²=4²．
（1）若直線l過Q點(diǎn)且被圓C截得的線段長為，求直線l的方程；
（2）求過Q點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)P的軌跡方程，并指出其軌跡是什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）可分直線l斜率不存在與斜率存在兩種情況討論，當(dāng)直線l斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y=kx+5，交圓于AB兩點(diǎn)，取AB中點(diǎn)M，在直角三角形CMA中，求得點(diǎn)C到直線l的距離，從而可求得k，可求直線l的方程；
（2）設(shè)弦中點(diǎn)P（x，y），=（x+2，y-6），=（x，y-5），即可求得過Q點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)P的軌跡方程．
解答：解：（1）1°當(dāng)直線l斜率不存在時，容易知x=0符合題意；…2
2°當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+5，交圓于AB兩點(diǎn)，取AB中點(diǎn)M，連接CM，則CM⊥AB，
∵|AB|=4，r=4，
∴|CM|=2，…4 
則由|CM|==2得：k=，故直線l的方程為3x-4y+5=0，…6
∴直線l的方程為：x=0或3x-4y+5=0；…7
（2）設(shè)弦中點(diǎn)P（x，y），由題意得：CP⊥QP，…8
∴，而=（x+2，y-6），=（x，y-5）…10
∴=x（x+2）+（y-6）（y-5）=0，化簡整理得：x²+y²+2x-11y+30=0，…11
∴點(diǎn)P的軌跡方程為：：x²+y²+2x-11y+30=0，（（x+2）²+（y-6）²＜16）…13
∴點(diǎn)P的軌跡是以為（-1，）為圓心，為半徑的圓，在圓（x+2）²+（y-6）²=16的內(nèi)部的一段弧…14
點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，著重考查弦心距，弦長之半，與半徑組成的直角三角形的應(yīng)用，考察學(xué)生綜合分析與應(yīng)用的能力，屬于中檔題．