Question

甲、乙兩人射擊（每次射擊是相互獨立事件），規則如下：若某人一次擊中，則由他繼續射擊；若一次不中，就由對方接替射擊．已知甲、乙二人每次擊中的概率均為

1

3

，若兩人合計共射擊3次，且第一次由甲開始射擊．求：
（Ⅰ）甲恰好擊中2次的概率；
（Ⅱ）乙射擊次數ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（I）由題意知甲、乙兩人射擊，每次射擊是相互獨立事件，根據相互獨立事件同時發生的概率公式，寫出甲恰好擊中兩次的概率．
（II）乙射擊次數ξ，ξ的可能取值為0、1、2，結合變量對應的事件寫出變量為0，1時的概率，利用概率之和等于1，寫出變量為2時的概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（I）甲、乙兩人射擊，每次射擊是相互獨立事件，
根據相互獨立事件同時發生的概率公式
記A為事件甲恰好擊中2次
∴P（A）=(

1

3

)2.

2

3

•

2

3

=

2

27

（II）乙射擊次數ξ，ξ的可能取值為0、1、2，
P(ξ=0)=

1

3

•

1

3

=

1

9

P(ξ=2)=

2

3

•

1

3

=

2

9

∴P（ξ=1）=1-p（ξ=0）-p（ξ=2）=

2

3

∴ξ的分布列為

∴Eξ=1×

2

3

+2×

2

9

=

10

9

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查相互獨立事件同時發生的概率，是一個綜合題，可以作為一個解答題目出現在高考卷中．