Question

已知動點P與平面上兩定點A（-1，0），B（1，0）連線的斜率的積為定值-2．
（1）試求動點P的軌跡方程C．
（2）設直線l：y=x+1與曲線C交于M、N兩點，求|MN|

Answer 1

分析：（1）設出點P（x，y），表示出兩線的斜率，利用其乘積為-2，建立方程化簡即可得到點P的軌跡方程．
（2）將直線l：y=x+1代入曲線C方程x²+

y2

2

=1，整理得3x²+2x-1=0，可求得方程的根，進而利用弦長公式可求|MN|．

解答：解：（1）設P（x，y），則k_PA=

y-0

x+1

，k_PB=

y-0

x-1

∵動點p與定點A（-1，0），B（1，0）的連線的斜率之積為-2，
∴k_PA×k_PB=-2
∴

y2

x2-1

=-2，即2x²+y²=2
又x=±1時，必有一個斜率不存在，故x≠±1
綜上點P的軌跡方程為x²+

y2

2

=1（x≠±1）
（2）將直線l：y=x+1代入曲線C方程x²+

y2

2

=1，整理得3x²+2x-1=0
∴x1=-1，x2=

1

3

∴|MN|=

2

|x1-x2| = 

4

3

2

點評：本題以斜率為載體，考查曲線方程的求解，關鍵是利用斜率公式，考查直線與橢圓的位置關系，考查了弦長公式的運用．