Question

5、已知f（x）是定義R在上的偶函數，對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2），若f（1）=2，則f（2006）+f（2007）等于（　　）

A、2007

B、2006

C、2

D、0

Answer 1

分析：令x=-2，得到f（-2）=0，故f（2）=0，故有f（x+4）=f（x），f（x）是周期等于4的周期函數，
由函數的周期性性及偶函數的性質求出式子的值．

解答：解：∵f（x）是定義R在上的偶函數，對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2），令x=-2，
可得 f（-2+4）=f（-2）+f（2），∴f（-2）=0，∴f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）是周期等于4的周期函數，故 f（2006）+f（2007）=f（2）+f（3）=f（3）=
f（-1）=f（1）=2，
故選 C．

點評：本題考查函數的周期性和奇偶性的應用，體現了轉化的數學思想．