Question

過x軸上動點A（a，0）引拋物線y=x²+1的兩條切線AP、AQ，切點分別為P、Q
（I）若切線AP，AQ的斜率分別是k₁，k₂，求證：k₁，k₂為定值；
（Ⅱ）求證：直線PQ過定點，并求出定點的坐標（Ⅲ）要使最小，求•的值

Answer 1

【答案】分析：（I）設過A（a，0）與拋物線y=x²+1的相切的直線的斜率是k，則該切線的方程為：y=k（x-a）．由得x²-kx+（ka+1）=0，由此可知k₁k₂=-4．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意知y₁=2x₁a+2，y₂=2x₂a+2，由此可知直線PQ的方程是y=2ax+2，直線PQ過定點（0，2）．
（Ⅲ）要使最小，就是使得A到直線PQ的距離最小，而A到直線PQ的距離．由引入手能夠推導出•的值．
解答：解：（I）設過A（a，0）與拋物線y=x²+1的相切的直線的斜率是k，
則該切線的方程為：y=k（x-a）
由得x²-kx+（ka+1）=0∴△=k²-4（ka+1）=k₂-4ak-4=0
則k₁，k₂都是方程k²-4ak-4=0的解，故k₁k₂=-4
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由于y'=2x，故切線AP的方程是：y-y₁=2x₁（x-x₁）
則-y₁=2x₁（a-x₁）=2x₁a-2x₁²=2x₁a-2（y₁-1）∴y₁=2x₁a+2，同理y₂=2x₂a+2
則直線PQ的方程是y=2ax+2，則直線PQ過定點（0，2）
（Ⅲ）要使最小，就是使得A到直線PQ的距離最小，而A到直線PQ的距離
當且僅當即時取等號設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由得x²-2ax-1=0，則x₁+x₂=2a，x₁x₂=-1，
=（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=（x₁-a）（x₂-a）+（2ax₁+2）（2ax₁+2）
=（1+4a²）x₁x₂+3a（x₁+x₂）+a²+4
=-（1+4a²）+3a•2a+a²+4
=3a²+3
=
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．