Question

如圖，在三棱臺ABC-A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥底面ABC，∠BAC=∠BC₁C=90°，A₁C₁=a，C₁B=2a．
（I）求證AB⊥平面AA₁C₁C；
（II）求證C₁C⊥平面ABC₁；
（III）求AC與BC₁所成的角．

Answer 1

解：（I）∵側棱AA₁⊥平面ABC，
AB?平面ABC，∴AA₁⊥AB，
又∵∠BAC=90°∴AB⊥AC，
AA₁∩AC=A，
從而AB⊥平面AA₁C₁C…（4分）
（II）由（I）可知AB⊥平面AA₁C₁C，C₁C?平面AA₁C₁C，
∴C₁C⊥AB
又∵C₁C⊥BC₁并且AB∩BC₁=B，
∴C₁C⊥平面ABC₁…（8分）
（III）連接A₁B，∵AC∥A₁C₁∴AC與BC₁所成的角是∠BC₁A₁（或它的補角）
∵A₁C₁⊥A₁B₁，A₁C₁⊥A₁A，，A₁A∩A₁B₁=A₁，∴A₁C₁⊥平面A₁ABB₁
∵BA₁?平面A₁ABB₁∴A₁C₁⊥A₁B
在直角三角形A₁C₁B中，A₁C₁=a，C₁B=2a
∠BC₁A₁=60°
即 異面直線AC與BC₁所成的角為60°…（15分）
分析：（I）證明AB垂直平面AA₁C₁C內的兩條相交直線AA₁，AC，即可證明結論；
（II）只需證明C₁C垂直平面ABC₁內的兩條相交直線AB，BC₁，即可證明直線與平面垂直；
（III）連接A₁B，說明AC與BC₁所成的角是∠BC₁A₁（或它的補角）通過證明三角形A₁C₁B是直角三角形，即可求解AC與BC₁所成的角．
點評：本題是中檔題，考查直線與平面垂直的證明，直線與直線所成的角的判斷與求解，考查空間想象能力，計算能力．