Question

若點（，2）在冪函數f（x）的圖象上，點（-2，）在冪函數g（x）的圖象上，問當x為何值時，（1）f（x）＞g（x）；（2）f（x）=g（x）；（3）f（x）＜g（x）．

Answer 1

解：設f（x）=x^α，由點（，2）在冪函數f（x）的圖象上，得=2，
∴α=2，則f（x）=x² ，同理得g（x）=x^-2
在同一坐標系中作出這兩個函數的圖象，如圖所示．
觀察圖象可得：
（1）當x＞1或x＜-1時，f（x）＞g（x）；
（2）當x=1或x=-1時，f（x）=g（x）；
（3）當-1＜x＜1，且x≠0時，f（x）＜g（x）．
分析：求函數f（x），g（x）的解析式，由于已知兩函數是冪函數，故可用待定系數法設出兩函數的解析式，代入點的坐標求出函數的解析式．由于兩個函數在第一象限一個是減函數一個是增函數，故可令兩者相等，解出它們的交點坐標，再由函數的單調性得出f（x）＜g（x）的解集，由于兩函數都是偶函數，可由對稱性得出函數在（-∞，0）上的解集，取兩者的并集即得不等式f（x）＜g（x）的解集，即得所求的x的取值范圍．對于f（x）＞g（x）同樣可以利用圖象法求解．
點評：本題考查了用待定系數法求函數解析式、函數圖象交點、冪函數的概念、解析式、定義域、值域等知識．考查數形結合思想，屬于基礎題．