Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）過點A（-e^-2，0）作函數(shù)y=f（x）圖象的切線，求切線方程．

Answer 1

分析：（1）在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＜0即可；
（2）分離參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題解決；
（3）設(shè)切點為T（x₀，y₀），由K_AT=f′（x₀），得一方程，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點處理．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+1，由f′（x）＜0得lnx＜-1，∴0＜x＜

1

e

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，

1

e

）；
（Ⅱ）f（x）≥-x²+ax-6，即a≤lnx+x+

6

x

，
設(shè)g（x）=lnx+x+

6

x

，則g′（x）=

x2+x-6

x2

=

(x+3)(x-2)

x2

，
當(dāng)x∈（0，2）時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（2，+∞）時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；
∴g（x）最小值g（2）=5+ln2，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，5+ln2]； 
（Ⅲ）設(shè)切點T（x₀，y₀），則K_AT=f′（x₀），∴

x0lnx0

x0+ 1 e2

=lnx0+1，即e²x₀+lnx₀+1=0．
設(shè)h（x）=e²x+lnx+1，當(dāng)x＞0時，h′（x）＞0，∴h（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴h（x）=0最多只有一個根，又h（

1

e2

）=e2×

1

e2

+ln

1

e2

+1=0，∴x0=

1

e2

．
由f′（x₀）=-1，得切線方程是x+y+

1

e2

=0．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題．對于不等式恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為最值問題解決，注意區(qū)分過某點的切線與某點處的切線的區(qū)別．