Question

已知函數

(Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線平行，求出這條切線的方程；

(Ⅱ）討論函數的單調區間；

(Ⅲ）若對于任意的，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ），得切線斜率為

據題設，，所以，故有

所以切線方程為即

(Ⅱ）

當時，由于，所以，可知函數在定義區間上單調遞增

當時，，若，則，可知當時，有，函數在定義區間上單調遞增

若，則，可得當時，；當時，.所以，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減。

綜上，當時，函數的單調遞增區間是定義區間；當時，函數的單調增區間為，減區間為

(Ⅲ）當時，考查，不合題意，舍；

當時，由（Ⅱ）知.

故只需，即

令，則不等式為，且。

構造函數，則，知函數在區間上單調遞增。

因為，所以當時，，

這說明不等式的解為，即得.

綜上，實數的取值范圍是_.