Question

設函數f（x）是定義在R上的奇函數，且對任意x∈R都有f（x）=f（x+4），當x∈（0，2）時，f（x）=2^x，則f（2012）-f（2011）的值為（　�。�

• A．2
• B．-2
• C．

  1

  2

• D．-

  1

  2

Answer 1

分析：由于對任意x∈R都有f（x）=f（x+4），則4為f（x）的周期，從而f（2012）-f（2011）=f（4×503）-f（4×503-1）=f（0）-f（-1），再根據f（x）的奇偶性可得f（0）=0，f（-1）=-f（1）．

解答：解：由f（x）是定義在R上的奇函數，得f（0）=0，
又x∈（0，2）時，f（x）=2^x，
所以f（1）=2，
因為對任意x∈R都有f（x）=f（x+4），
所以4為f（x）的周期，
所以f（2012）-f（2011）=f（4×503）-f（4×503-1）
=f（0）-f（-1）=0+f（1）=2，
故選A．

點評：本題考查函數的奇偶性、周期性及函數求值，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力，屬中檔題．