Question

某會議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號相同。假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關，該型號的燈泡壽命為1年以上的概率為p₁，壽命為2年以上的概率為p₂；從使用之日起每滿1年進行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時不換，
（Ⅰ）在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；
（Ⅱ）在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該盞燈需要更換燈泡的概率；
（Ⅲ）當p₁=0.8，p₂=0.3時，求在第二次燈泡更換工作中，至少需要更換4只燈泡的概率（結果保留兩個有效數字）。

Answer 1

解：（Ⅰ）在第一次更換燈泡工作中，不需要換燈泡的概率為，
需要更換2只燈泡的概率為；
（Ⅱ）對該盞燈來說，在第1、2次都更換了燈泡的概率為（1-p₁）²；
在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為p₁(1-p₂)，
故所求的概率為；
（Ⅲ）至少換4只燈泡包括換5只和換4只兩種情況，換5只的概率為p⁵（其中p為（Ⅱ）中所求，下同），
換4只的概率為（1-p），
故至少換4只燈泡的概率為，
又當p₁=0.8，p₂=0.3時，，
∴，
即滿兩年至少需要換4只燈泡的概率為0.34。