Question

已知圓C經過A（2，-1）和直線x+y=1相切，且圓心在直線y=-2x上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l經過圓C內一點P(

1

2

， -3)與圓C相交于A，B兩點，當弦AB被點P平
分時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據條件設圓的方程為（x-a）²+（y+2a）²=r²，則由

(2-a)2+(-1+2a)2=r2 |a-2a-1 2 =r.

求解．
（Ⅱ）易知CP⊥AB，由kCP=

-3+2

1 2 -1

=2，得到kAB=-

1

2

，從而得直線AB的方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意，設圓的方程為（x-a）²+（y+2a）²=r²，（1分）
∴

(2-a)2+(-1+2a)2=r2 |a-2a-1 2 =r.

（4分）
∴a=1，r=

2

．（6分）
所以（x-1）²+（y+2）²=2．（7分）

（Ⅱ）由題意得CP⊥AB，而kCP=

-3+2

1 2 -1

=2，所以kAB=-

1

2

，（10分）
從而得直線AB的方程為y+3=-

1

2

(x-

1

2

)．（12分）
所以直線AB的方程為2x+4y+11=0．（14分）

點評：本題主要考查圓的標準方程的求法及直線與圓的位置關系，屬中檔題．