Question

【題目】如圖,在矩形中, , 為的中點, 為的中點.將沿折起到,使得平面平面（如圖）.

圖1 圖2

（Ⅰ）求證: ；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據等腰三角形的性質可得,由平面平面可得平面,從而可得；（Ⅱ）取中點為,連結，由矩形性質, ,可知，由（Ⅰ）可知, ，以為原點, 為軸, 為軸, 為軸建立坐標系，求出平面的一個法向量及直線的方向向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結果；（Ⅲ）假設在線段上存在點,滿足平面，設，利用直線與平面的法向量垂直，數量積為零，列方程求解即可.

.

試題解析：（Ⅰ）如圖,在矩形中,

, 為中點, ,

為的中點,

由題意可知, ,

平面平面

圖1 圖2

平面平面,平面，

平面，

平面,

，

（Ⅱ）取中點為,連結，

由矩形性質, ,可知，

由（Ⅰ）可知, ，

以為原點, 為軸, 為軸, 為軸建立坐標系，

在中,由,則,

所以

,,

設平面的一個法向量為，

則,令,則，

所以，

設直線與平面所成角為，

，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（Ⅲ）假設在線段上存在點,滿足平面

設，

由,,所以，

,，

若平面,則，

所以,解得，

所以.

【方法點晴】本題主要考查面面垂直的性質以及利用空間向量求線面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.