Question

設函數f（x）=

ex

x

，
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若k＞0，求不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析：（1）對函數f（x）進行求導，當導數大于0時是單調遞增區間，當導數小于0時是原函數的單調遞減區間．
（2）將f'（x）代入不等式即可求解．

解答：解：（1）∵f（x）=

ex

x

∴f′(x)=-

1

x2

ex+

1

x

ex=

x-1

x2

ex
由f'（x）=0，得x=1，
因為當x＜0時，f'（x）＜0；
當0＜x＜1時，f'（x）＜0；當x＞1時，f'（x）＞0；
所以f（x）的單調增區間是：[1，+∝）；單調減區間是：（-∞，0），（0，1]
（2）由f'（x）+k（1-x）f（x）=

x-1+kx-kx2

x2

ex=

(x-1)(-kx+1)

x2

ex＞0，
得：（x-1）（kx-1）＜0，
故：當0＜k＜1時，解集是：{x|1＜x＜

1

k

}；
當k=1時，解集是：φ；
當k＞1時，解集是：{x|

1

k

＜x＜1}．

點評：本題主要考查通過求函數的導數來確定函數的增減性的問題．當導數大于0時原函數單調遞增，當導數小于0時原函數單調遞減．