Question

設b、c∈{1，2，3，4，5，6}，用隨機變量ξ表示方程2x²+cx+b=0實根的個數（重根按一個計）．
（1）求方程2x²+cx+b=0有實根的概率；
（2）求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

（1）記“方程2x²+cx+b=0有且僅有一個實根”為事件B，“方程2x²+cx+b=0 有兩個相異實數”為事件A．
c，b分別取1到6，基本事件總數為36種．
事件B需要滿足c²-8b=0，按序窮舉可得，c=4時b=2符合，
其概率為 P（B）=

1

36

                …（2分）
事件A需要滿足c²-8b＞0，按序窮舉可得，c=3時b=1；c=4時b=1；c=5時b=1，2，3；c=6時b=1，2，3，4．合計9種．其概率為P（A）=

9

36

=

1

4

．…（5分）
又因為B，A是互斥事件，故所求概率
P=P（B）+P（A）=

1

36

+

9

36

=

5

18

．          …（6分）
（2）由題意，ξ的可能取值為0，1，2．
P（ξ=1）=

1

36

P（ξ=2）=

9

36

P（ξ=0）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）=

26

36

．…（8分）
故ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	26 36	1 36	9 36

…（9分）
所以ξ的數學期望Eξ=0×

26

36

+1×

1

36

+2×

9

36

=

19

36

．…（12分）