Question

定義在R上的可導函數y=f（x）滿足f（x+5）=f（-x），（2x-5）f′（x）＞0．已知x₁＜x₂，則“f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＜5”的

充分必要

條件．

Answer 1

分析：求出函數y=f（x）圖象的對稱軸，然后根據（2x-5）f'（x）＞0，判定函數在對稱軸兩側的單調性，最后根據函數的單調性對充分性和必要性分別加以驗證，即可得到本題答案．

解答：解：∵f（5+x）=f（-x），∴函數y=f（x）的圖象關于x=

5

2

對稱
∵（2x-5）f'（x）＞0，
∴x＞

5

2

時，f'（x）＞0，可得函數f（x）單調遞增；當x＜

5

2

時，f'（x）＜0，可得函數f（x）單調遞減
①當f（x₁）＞f（x₂）時，結合x₁＜x₂，由函數單調性可得

5

2

≤x₂＜5-x₁或x₁＜x₂＜

5

2

∴x₁+x₂＜5成立，故充分性成立；
②當x₁+x₂＜5時，因為x₁＜x₂，必有x₁＜5-x₂≤

5

2

成立，
所以結合函數的單調性，可得f（x₁）＞f（x₂）成立，故必要性成立
綜上所述，“f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＜5”的充分必要條件．
故答案為：充分必要

點評：本題給出函數單調性的命題，要我們進行充分必要性的判斷，主要考查函數的單調性、用導函數的正負判斷函數單調和充分必要條件的判定等知識，屬于屬中檔題．