Question

水庫的蓄水量隨時間而變化，現用t表示時間，以月為單位，年初為起點，根據歷年數據，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關于t的近似函數關系式為

V（t）=

（Ⅰ）該水庫的蓄水量小于50的時期稱為枯水期.以i-1＜t＜t表示第i月份（i=1,2,…,12）,問一年內哪幾個月份是枯水期？

（Ⅱ）求一年內該水庫的最大蓄水量（取e=2.7計算）.

Answer 1

解：（Ⅰ）①當0＜t10時，V(t)=(-t²+14t-40)

化簡得t²-14t+40>0,

解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.

②當10＜t12時，V（t）＝4（t-10）(3t-41）+50＜50,

化簡得（t-10）(3t-41）＜0,

解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12.

綜合得0<t<4,或10<t12,

故知枯水期為1月，2月，3月，4月，11月，12月共6個月.

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）內達到.

由V′（t）=

令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).

當t變化時，V′(t) 與V (t)的變化情況如下表：

t	(4,8)	8	(8,10)
V′(t)	+	0	-
V(t)		極大值

由上表，V(t)在t＝8時取得最大值V(8)＝8e²+50=108.52(億立方米).

故知一年內該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米。