Question

設數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=na_n-2n（n-1）．等比數列{b_n}的前n項和為T_n，公比為a₁，且T₅=T₃+2b₅．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{

1

anan+1

}的前n項和為M_n，求證：

1

5

≤M_n＜

1

4

．

Answer 1

分析：（1）根據T₅=T₃+2b₅ ，求得 b₄=b₅，得到公比 a₁=

b5

b4

=1，再由當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1 可得數列{a_n}是以1為首項，以4為公差的等差數列，由此求得數列{a_n}的通項公式．
（2）用裂項法求得 M_n =

1

4

（1-

1

4n+1

）＜

1

4

，再由數列{ M_n }是增數列，可得 M_n≤M₁=

1

5

，從而命題得證．

解答：解：（1）∵等比數列{b_n}的前n項和為T_n，公比為a₁，且T₅=T₃+2b₅ ，∴b₄+b₅=2b₅，
∴b₄=b₅，∴公比 a₁=

b5

b4

=1，故等比數列{b_n}是常數數列．
數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=na_n-2n（n-1），當n≥2時，
a_n=s_n-s_n-1=na_n-2n（n-1）-[na_n-1-2（n-1）（n-2）]，∴a_n-a_n-1=4 （n≥2）．
∴數列{a_n}是以1為首項，以4為公差的等差數列，a_n=4n-3．
（2）∵數列{

1

anan+1

}的前n項和為M_n，

1

anan+1

=

1

(4n-3)[4(n+1)-3]

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，
∴M_n =

1

4

[1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+

1

9

-

1

13

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

]=

1

4

（1-

1

4n+1

）＜

1

4

．
再由數列{ M_n }是增數列，∴M_n≥M₁=

1

5

．
綜上可得，

1

5

≤M_n＜

1

4

．

點評：本題主要考查數列的遞推公式的應用，用放縮法證明不等式，屬于難題．