Question

已知函數f（x）=x²﹣alnx（aR）．

（1）若a=2，求證：f（x）在（1，+）上是增函數；
（2）求f（x）在[1，+）上的最小值．

Answer 1

證明：（1）當a=2時，f（x）=x²﹣2lnx，
當x（1，+）時，，
所以f（x）在（1，+）上是增函數；  
（2）解：，
當a0時，f'（x）＞0，f（x）在[1，+）上單調遞增，最小值為f（1）=1．
當a＞0，時，f（x）單調遞減；
當時，f（x）單調遞增．
若，即0＜a2時，f（x）在[1，+）上單調遞增，
又f（1）=1，
所以f（x）在[1，+）上的最小值為1．
若，即a＞2時，f（x）在上單調遞減；在上單調遞增．
又，
所以f（x）在[1，+）上的最小值為．
綜上，當a2時，f（x）在[1，+）上的最小值為1；
當a＞2時，f（x）在[1，+）上的最小值為．