Question

已知向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)．且x∈[0，

π

2

]，求：
（1）

a

•

b

；
（2）若f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|的最小值是-

3

2

，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積的運算，根據兩向量的坐標求得

a

•

b

，并利用二倍角的余弦化簡整理．
（2）根據（1）和題設向量的坐標求得函數f（x）的解析式，利用二倍角的余弦化簡整理，然后利用x的范圍確定cosx的范圍，看λ∈[0，1]，λ＞1和λ＜-1時根據二次函數的性質可確定函數的最小值，求得λ．

解答：解：（1）

a

•

b

=

( a + b )2

=

2+2cos2x

=2cosx（x∈[0，

π

2

]）
（2）由（1）知：f（x）=cos2x-4λcosx=2cos²x-4λcosx-1=2（cosx-λ）²-2λ²-1
∵x∈[0，

π

2

]
∴cosx∈[0，1]，
當λ∈[0，1]時，f（x）_min=-2λ²-1，而f(x)min=-

3

2

，
所以-2λ2-1=-

3

2

，λ=

1

2

，
當λ＜0時，f(x)min=f(

π

2

)=2λ²-2λ²-1=-1，
而f(x)min=-

3

2

，不符合題意．
當λ＞1時，f（x）_min=f（0）=2-4λ-1=-4λ+1，而f(x)min=-

3

2

所以-4λ+1=-

3

2

，λ=

5

8

這與λ＞1矛盾
綜上述λ的值為

1

2

．

點評：本題主要考查了三角函數的最值，平面向量的基本性質和基本運算．考查了學生對三角函數和向量的知識的綜合運用．