Question

【題目】閱讀下列有關(guān)光線的入射與反射的兩個(gè)事實(shí)現(xiàn)象：現(xiàn)象（1）：光線經(jīng)平面鏡反射滿足入射角與反射角相等（如圖）；現(xiàn)象（2）；光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)橢圓反射后通過另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖）．試結(jié)合，上述事實(shí)現(xiàn)象完成下列問題：

（Ⅰ）有一橢圓型臺球桌，長軸長為2a，短軸長為2b．將一放置于焦點(diǎn)處的桌球擊出．經(jīng)過球桌邊緣的反射（假設(shè)球的反射充全符合現(xiàn)象（2）），后第一次返回到該焦點(diǎn)時(shí)所經(jīng)過的路程記為S，求S的值（用a，b表示）；

（Ⅱ）結(jié)論：橢圓上任點(diǎn)P（x0，y0）處的切線的方程為．記橢圓C的方程為C：，在直線x＝4上任一點(diǎn)M向橢圓C引切線，切點(diǎn)分別為A，B．求證：直線lAB恒過定點(diǎn)：

（Ⅲ）過點(diǎn)T（1，0）的直線l（直線l斜率不為0）與橢圓C：交于P、Q兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)S（s，0），使得直線SP與SQ斜率之積為定值，若存在求出S坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）S＝2（a），S＝2（a），S＝4a；（Ⅱ）證明見解析　（Ⅲ）存在，定點(diǎn)S（±3，0）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意分桌球第一次與球桌的邊緣的接觸點(diǎn)為長軸的兩個(gè)端點(diǎn)或這兩個(gè)端點(diǎn)外的任一點(diǎn)三種情況進(jìn)行討論即可.

（Ⅱ）設(shè)M（4,t）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,再根據(jù)橢圓在點(diǎn)P（x0,y0）處的切線的方程為即可求得兩條切線方程的表達(dá)式,再根據(jù)M（4,t）在兩條切線上即可求得lAB

的直線方程.

（Ⅲ）設(shè)l的方程為：x＝my+1,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,求得直線SP與SQ斜率之積的表達(dá)式,再根據(jù)表達(dá)式求S（s,0）即可.

（Ⅰ）記c,因?yàn)樽狼虻谝淮闻c球桌的邊緣的接觸點(diǎn)可能是長軸的兩個(gè)端點(diǎn)及這兩個(gè)端點(diǎn)外的任一點(diǎn)三種情況,

所以,S＝2（a﹣c）或S＝2（a+c）或S＝4a；

即S＝2（a）,S＝2（a）,S＝4a；

（Ⅱ）設(shè)M（4,t）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,則直線lMA：1,lMB：1,代入M中,得lMA：ty1＝1,lMB：2＝1,

則點(diǎn)A,B的坐標(biāo)滿足方程：ty﹣1＝0,

恒過定點(diǎn)G（,0）；

（Ⅲ）由已知直線過點(diǎn)T（1,0）,設(shè)l的方程為：x＝my+1,P（x,y）,Q（x',y'）,聯(lián)立與橢圓的方程整理得：（9+m2）y2+2my﹣8＝0,∴y+y',yy',

kSP,同理得kSQ,∴kSPkSQ,當(dāng)s＝3時(shí),kSPkSQ,

當(dāng)s＝﹣3時(shí),kSPkSQ,所以存在定點(diǎn)S（±3,0）,使得直線SP與SQ斜率之積為定值．