Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，準(zhǔn)線方程為x=±

1

2

，漸近線為y=±

3

x．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若A、B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，雙曲線的弦PQ垂直于x軸，求直線AP與BQ的交點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

（1）設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
因?yàn)闇?zhǔn)線方程為x=±

1

2

，漸近線為y=±

3

x．
所以

a2 c = 1 2 b a = 3

解得a=1，b=

3

，
所以雙曲線方程為x2-

y2

3

=1
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），M（x，y），又知A（-1，0），B（1，0），
則可得到直線的方程PA：y=

y0

x0+1

(x+1)；
QB：y=

-y0

x0-1

(x-1)
由

y= y0 x0+1 (x+1) y= -y0 x0-1 (x-1)

得

x0= 1 x y0= y x

代入方程x02 -

y02

3

=1
得x2+

y2

3

=1，
又由|x₀|＞1得-1＜x＜1且x≠0得到xy≠0
所以直線AP與BQ的交點(diǎn)M的軌跡方程為x2+

y2

3

=1，（-1＜x＜1且xy≠0）