Question

（本題滿分12分）

如圖，四棱錐的側面垂直于底面，，，，在棱上，是的中點，二面角為

（1）求的值；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）。（2）直線與平面所成角的正弦值為。

【解析】本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面所成的角，其中方法一的關鍵是熟練掌握二面角及線面夾角的定義，方法二的關鍵是建立空間直角坐標系，將問題轉化為向量夾角問題．

解法一（幾何法）：（Ⅰ）作ME∥CD交CD于E，由已知中，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，N是AD的中點，可得BN⊥AD，結合側面PAD垂直于底面ABCD，及面面垂直和線面垂直的性質可得BN⊥NE，即∠DNE為二面角M-BN-C的平面角，由二面角M-BN-C為30°，可得∠DNE=30°，可求出DE= DP，進而得到所求的值。

（2）連接BE，由（Ⅰ）可知PE⊥平面BMN，即∠PBE為直線PB與平面BMN所成的角．連接PN，則PN⊥平面ABCD，從而PN⊥BN，解△PBE可得直線PB與平面MBN所成的角。解法二（向量法）：（Ⅰ）建立如圖所示的坐標系N-xyz，設PM=λPC（λ＞0），求出面MBN的法向量，及面BNC的法向量，由二面角M-BN-C為30°，求出λ值，即可得到值。

（2）由上可知（，0，3）為面MBN的法向量，設直線PB與平面MBN所成的角為θ，求出PB的方向向量

PB，代入線面夾角公式sinθ，可得直線PB與平面MBN所成的角．

（1）建立如圖所示的坐標系，其中，，，，，。設，則，于是，……3分

設 為面的法向量，則，，取，又為面的法向量，由二面角為，得，

解得故。……6分

（2）由（1）知，為面的法向量……8分

設直線與平面所成的角為，由得

，

所以直線與平面所成角的正弦值為。……12分