Question

已知點P_n（a_n，b_n）滿足a_n+1=a_n•b_n+1，b_n+1=（n∈N^*）且點P₁的坐標為（1，-1）．
（1）求過點P₁，P₂的直線l的方程；
（2）試用數(shù)學歸納法證明：對于n∈N^*，點P_n都在（1）中的直線l上．

Answer 1

【答案】分析：（1）由P₁的坐標為（1，-1）可得a₁=1，b₁=-1，只要求出點P₂的坐標即可求出過點P₁，P₂的直線l的方程；
（2）利用數(shù)學歸納法進行證明；
解答：解：（1）由P₁的坐標為（1，-1）知
a₁=1，b₁=-1．
∴b₂==．
a₂=a₁•b₂=．
∴點P₂的坐標為（，）
∴直線l的方程為2x+y=1．

（2）①當n=1時，
2a₁+b₁=2×1+（-1）=1成立．
②假設n=k（k∈N^*，k≥1）時，2a_k+b_k=1成立，
則2a_k+1+b_k+1=2a_k•b_k+1+b_k+1=（2a_k+1）
===1，
∴當n=k+1時，命題也成立．
由①②知，對n∈N^*，都有2a_n+b_n=1，
即點P_n在直線l上．
點評：此題考查直線的兩點式，關鍵是求出點P₁，P₂的坐標；第二問考查數(shù)學歸納法，記住其一般步驟：（1）當n=1時，顯然成立．（2）假設當n=k時（把式中n換成k，寫出來）成立，則當n=k+1時，（這步比較困難，化簡步驟往往繁瑣，考試時可以直接寫結(jié)果）該式也成立．由（1）（2）得，原命題對任意正整數(shù)均成立．