Question

（2011•武漢模擬）過拋物線y²=4x的焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，則

OA

•

OB

=

-3

．

Answer 1

分析：由拋物線y²=4x與過其焦點（ 1，0）的直線方程聯立，消去y整理成關于x的一元二次方程，設出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點坐標，

OA

• 

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂，由韋達定理可以求得答案．

解答：解：由題意知，拋物線y²=4x的焦點坐標為（ 1，0），∴直線AB的方程為y=k（x-1），
由

y2=4x y=k(x-1)

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則 x1+x2=

2k2+ 4

k2

，x1•x2=1，y₁•y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=k²[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]
∴

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=1+k2(2-

2k2+4

k2

) =-3，
故答案為：-3．

點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的關系，主要考查拋物線的標準方程，以及簡單性質的應用，關鍵是利用

OA

• 

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂，進而得解．