Question

已知橢圓（a＞1）的左右焦點為F₁，F₂，拋物線C：y²=2px以F₂為焦點．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）設A、B是拋物線C上兩動點，過點M（1，2）的直線MA，MB與y軸交于點P、Q．△MPQ是以MP、MQ為腰的等腰三角形，探究直線AB的斜率是否為定值？若是求出這個定值，若不是說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的標準方程及c²=a²-b²即可得到c，即可求出p，進而得到拋物線C的方程；
（2）直線AB的斜率為定值-1．證法一：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由M（1，2），A、B在拋物線y²=4x上，代入拋物線的方程，可用坐標表示直線MA，MB的斜率，由△MPQ是以MP，MQ為腰的等腰三角形，可得k_MA=-k_MB，即可證明直線AB的斜率為定值；
證法二：設，，則=，，由△MPQ是以MP，MQ為腰的等腰三角形，可得k_MA=-k_MB，以下同上．
解答：解：（1）由橢圓方程得半焦距=1，
∴橢圓焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0）．
又拋物線C的焦點為，∴，解得p=2，∴拋物線C的標準方程為：y²=4x．
（2）直線AB的斜率為定值-1．
證明如下：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵M（1，2），A、B在拋物線y²=4x上，∴
由①-③得，   ④
由②-③得，   ⑤
∵△MPQ是以MP，MQ為腰的等腰三角形，∴k_MA=-k_MB
由k_MA=-k_MB得化簡整理，
得
上兩式相減得：4（y₁-y₂）=-4（x₁-x₂），∴=為定值．
解法二：設，，
則=，，
∵△MPQ是以MP，MQ為腰的等腰三角形，∴k_MA=-k_MB
即
∴
由y₁+y₂+4=0得 y₁+y₂=-4．
∴====-1．
∴直線AB的斜率為定值-1．
點評：熟練掌握橢圓、拋物線的標準方程及其性質、直線與圓錐曲線相交問題、直線的斜率計算公式、等腰三角形的性質等是解題的關鍵．