Question

已知∫₀¹（3ax+1）（x+b）dx=0，a，b∈R，試求ab的取值范圍．

Answer 1

分析：先根據定積分的運算法則建立a與b的等量關系，然后設ab=t則a+b=-

3t+1

2

，再利用構造法構造a，b為方程x²+

3t+1

2

x+t=0兩根，然后利用判別式可求出a．b的取值范圍．

解答：解：∫₀¹（3ax+1）（x+b）dx
=∫₀¹[3ax²+（3ab+1）x+b]dx
=[ax³+

1

2

（3ab+1）x²+bx]

|

1 0

=a+

1

2

（3ab+1）+b=0
即3ab+2（a+b）+1=0
設ab=t∴a+b=-

3t+1

2

則a，b為方程x²+

3t+1

2

x+t=0兩根
△=

(3t+1)2

4

-4t≥0∴t≤

1

9

或t≥1
∴a•b∈（-∞，

1

9

]∪[1，+∞）

點評：本題主要考查了定積分的簡單應用，以及利用構造法求變量的取值范圍，同時考查了計算能力，屬于中檔題．