Question

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是正方形，AF⊥平面ABCD，DE∥AF，AB=DE=2
（1）求證：BE⊥AC；
（2）點N在棱BE上，當BN的長度為多少時，直線CN與平面ADE成30°角？

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，ABCD是正方形，AC⊥BD．得出BD是斜線EB在平面ABCD內的射影，由三垂線定理得到BE⊥AC．
（2）以D為原點，DA、DC、DE為x，y，z建立空間直角坐標系，求出各個頂點的坐標，進而求出平面AED的法向量，代入向量夾角公式，即可得到直線CN與平面ADE所成角的大小；
解答：證明：（1）連接BD，
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．
又ED⊥底面ABCD，
∴BD是斜線EB在平面ABCD內的射影．
∴BE⊥AC．
（2）以D為原點，DA、DC、DE為x，y，z建立空間直角坐標系，
則A（2，0，0）、B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2）
設N（x，y，z），且（0≤λ≤1）
則N（2-2λ，2-2λ，2λ），∴
平面ADE的法向量為
則，
解得
又，∴
即當時，直線CN與平面ADE成30°角
點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質及用空間向量求直線與平面的夾角及求法，在使用向量法求求直線與平面的夾角的大小時，建立坐標系，求出平面的法向量是關鍵．