Question

18．若橢圓的對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長的和為36，焦距為12，則橢圓的方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{64}=1$
• B． $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$
• C． $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{64}=1或\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$
• D． $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$或$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}=1$

Answer 1

分析 設出橢圓的長半軸與短半軸分別為a和b，根據長軸與短軸的和為36列出關于a與b的方程記作①，由焦距等于12求出c的值，根據橢圓的基本性質a²-b²=c²，把c的值代入即可得到關于a與b的另一關系式記作②，將①②聯立即可求出a和b的值，然后利用a與b的值寫出橢圓的方程即可．

解答 解：設橢圓的長半軸與短半軸分別為a和b，
則2（a+b）=36，即a+b=18①，
由焦距為12，得到c=6，則a²-b²=c²=36②，
由①得到a=18-b③，把③代入②得：
（18-b）²-b²=36，化簡解得b=8，把b=8代入①，解得a=10，
所以橢圓的方程為：$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$或$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}=1$．
故選D．

點評 此題考查學生掌握橢圓的基本性質，會根據橢圓的長半軸與短半軸寫出橢圓的標準方程，是一道綜合題．學生做題時應注意焦點在x軸和y軸上兩種情況．