Question

在數列{a_n}中,如果存在非零常數T,使得a_m+T=a_m對于任意的正整數m均成立,那么就稱數列{a_n}為周期數列,其中T叫做數列{a_n}的周期.已知數列{x_n}是周期數列且滿足x_n+1=|x_n-x_n-1|(n≥2,n∈N^*),x₁=1,x₂=a(a∈R,a≠0),當數列{x_n}的周期最小時,該數列的前2 007項和是__________.

Answer 1

思路解析:題目中給出了新名詞,首先要弄清題意中所說的周期數列的含義,然后利用這個定義,針對題目中的數列的周期情況分類討論,從而將a值確定,進而將數列的前2 007項和確定.

若其最小周期為1,則該數列是常數列,即每一項都等于1,此時a=1,該數列的項分別為1,1,0,1,1,0,1,1,0,…,即此時該數列是以3為周期的數列；若其最小周期為2,則有a₃=a₁,即|a-1|=1,a-1=1或-1,a=2或a=0,又a≠0,故a=2,此時該數列的項依次為1,2,1,1,0,…,由此可見,此時它并不是以2為周期的數列.綜上所述,當數列{x_n}的周期最小時,其最小周期是3,a=1,又2 007=3×669,故此時該數列的前2 007項和是669×(1+1+0)=1 338.

答案:1 338