Question

定義符號函數sgnx=，設f（x）=•f₁（x）+•f₂（x），x∈[0，1]，若f₁（x）=，f₂（x）=2（1-x），則f（x）的最大值等于（ ）
A．2
B．1
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：分三種情況討論：當x=時，則符號函數的定義結合已知函數表達式，得到f（x）=，代入x=，得f（）=1；當x時，同理得到f（x）=f₂（x）=2（1-x），在區間（，+∞）內是減函數，得到f（x）＜1恒成立；當時，f（x）=f₁（x）=，在區間（-∞，）內是增函數，所以f（x）＜1恒成立．綜合可得f（x）的最大值等于1，得到正確選項．
解答：解：①當x=時，==0，
因此f（x）=•f₁（x）+•f₂（x）=f₁（x）+f₂（x），
∵f₁（x）=，f₂（x）=2（1-x），
∴f（x）=x++（1-x）=
代入x=，得f（）=1；
②當x時，=1，=-1，
因此f（x）=•f₁（x）+•f₂（x）=f₂（x）
∴f（x）=2（1-x），在區間（，+∞）內是減函數，所以f（x）＜2（1-）=1恒成立；
③當時，=-1，=1，
因此f（x）=•f₁（x）+•f₂（x）=f₁（x），
∴f（x）=，在區間（-∞，）內是增函數，所以f（x）＜+=1恒成立．
綜上所述，則f（x）的最大值等于1．
故選B
點評：本題給出一個含有符號函數的綜合式為例，以求函數的最大值為載體，考查了函數的單調性與最值等知識點，屬于中檔題．