Question

問題背景在某次活動課中，甲、乙、丙三個學習小組于同一時刻在陽光下對校園中一些物體進行了測量．下面是他們通過測量得到的一些信息：

甲組：如圖1，測得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為60cm．
乙組：如圖2，測得學校旗桿的影長為900cm．
丙組：如圖3，測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細忽略不計）的高度為200cm，影長為156cm．任務要求：
（1）請根據甲、乙兩組得到的信息計算出學校旗桿的高度；
（2）如圖3，設太陽光線NH與⊙O相切于點M．請根據甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑．（友情提示：如圖3，景燈的影長等于線段NG的影長；需要時可采用等式156²+208²=260²）

Answer 1

【答案】分析：此題屬于實際應用問題，解題時首先要理解題意，然后將實際問題轉化為數學問題進行解答；此題需要轉化為相似三角形的問題解答，利用相似三角形的性質，相似三角形的對應邊成比例解答．
解答：解：（1）由題意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=∠EFD．
∴△ABC∽△DEF．
∴，即，（2分）
∴DE=1200（cm）．
所以，學校旗桿的高度是12m．（3分）

（2）解法一：
與①類似得：，即，
∴GN=208．（4分）
在Rt△NGH中，根據勾股定理得：NH²=156²+208²=260²，
∴NH=260．（5分）
設⊙O的半徑為rcm，連接OM，
∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（6分）
則∠OMN=∠HGN=90°，
又∵∠ONM=∠HNG，
∴△OMN∽△HGN，
∴（7分），
又ON=OK+KN=OK+（GN-GK）=r+8，
∴，
解得：r=12．
∴景燈燈罩的半徑是12cm．（8分）

解法二：
與①類似得：，
即，
∴GN=208．（4分）
設⊙O的半徑為rcm，連接OM，
∵NH切⊙O于M，
∴OM⊥NH．（5分）
則∠OMN=∠HGN=90°，
又∵∠ONM=∠HNG，
∴△OMN∽△HGN．
∴，
即，（6分）
∴MN=r，
又∵ON=OK+KN=OK+（GN-GK）=r+8．（7分）
在Rt△OMN中，根據勾股定理得：
r²+（r）²=（r+8）²即r²-9r-36=0，
解得：r₁=12，r₂=-3（不合題意，舍去），
∴景燈燈罩的半徑是12cm．（8分）
點評：本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求解即可，體現了轉化的思想．此題的文字敘述比較多，解題時要認真分析題意．